근과 계수와의 관계

근과 계수와의 관계

근과 계수의 관계, 즉 '근과 계수의 관계'는 다항방정식의 해(근)들과 그 계수들 사이의 관계를 설명하는 수학적 정리입니다. 이 관계는 비에타의 공식이라고도 하며, 주로 이차방정식과 삼차방정식에서 자주 사용되지만, 모든 정수차 다항방정식에 적용됩니다.

 

이차방정식 ax² + bx + c = 0의 두 근을 α와 β라고 할 때, 비에타의 정리에 따르면 다음과 같은 관계가 성립합니다:

• 두 근의 합은 계수의 부호를 바꾼 값과 같습니다. 즉, α + β = − b/a
• 두 근의 곱은 상수항을 최고차항의 계수로 나눈 값과 같습니다. 즉, αβ = c/a

삼차방정식 ax³ + bx² + cx + d = 0의 세 근을 α, β, γ라고 할 때는 다음과 같은 관계가 성립합니다:

• 세 근의 합은 두 번째 항의 계수의 부호를 바꾼 값과 같습니다. 즉, α + β + γ = − b/a
• 근의 쌍의 곱의 합은 세 번째 항의 계수와 같습니다. 즉, αβ + αγ + βγ = c/a
• 세 근의 곱은 상수항의 부호를 바꾼 값과 같습니다. 즉, αβγ = − d/a

근과 계수의 관계는 방정식을 풀 때, 특히 근의 성질에 대한 정보를 이용해야 할 때 매우 유용합니다. 예를 들어, 방정식의 일부 해를 알고 있을 때, 나머지 해를 찾거나, 방정식을 인수분해할 때 이러한 관계를 활용할 수 있습니다.

 

사례

이차방정식 x² − 5x + 6 = 0이 있을 때, 근과 계수와의 공식을 이용하면 두 해의 합이 5, 두 해의 곱이 6 임을 알 수 있습니다. 실제로 이 방정식의 해는 x = 2와 x = 3이며, 이 두 수를 더하면 5가 되고, 곱하면 6이 됩니다. 이처럼 근과 계수와의 관계는 해를 찾는 데 직접적인 단서를 제공합니다.

 

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